☛ Fonction affine, fonction linéaire, fonction constante

Énoncé

Parmi les fonctions suivantes, repérer celles qui sont affines et donner alors les valeurs du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine. Préciser, parmi ces fonctions affines, celles qui sont linéaires et/ou constantes.

1. \(f(x)=3x-1\) avec  \(D_f=\mathbb{R}\)
2. \(f(x)=4-2x\)   avec \(D_f=\mathbb{R}\)
3. \(f(x)=3x^2-1\) avec \(D_f=\mathbb{R}\)
4. \(f(x)=3x-2-3x\) avec  \(D_f=\mathbb{R}\)
5. \(f(x)=\dfrac{10x}{5}\) avec  \(D_f=\mathbb{R}\)
6. \(f(x)=\dfrac{3x-1}{x-1}\) avec  \(D_f= \mathbb{R} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\)

Solution

1. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et a une expression algébrique de la forme \(f(x)=mx+p\) avec \(m=3\) et \(p=-1\).
\(f\) est donc une fonction affine. Elle n'est pas constante car \(m\neq 0\) et elle n'est pas linéaire car \(p\neq0\).

2. Pour tout réel \(x\), on a : \(f(x)=4-2x=-2x+4\) .
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et a une expression algébrique de la forme \(f(x)=mx+p\) avec \(m=-2\) et \(p=4\) .
\(f\) est donc une fonction affine. Elle n'est pas constante car \(m\neq 0\) et elle n'est pas linéaire car \(p\neq0\).

3. L'expression algébrique de la fonction contient "\(x^2\)". On va montrer que cette fonction n'est pas affine. Pour cela, on calcule deux taux d'accroissement et on vérifie qu'ils ne sont pas égaux.
\(f(2)=3\times2^2-1=11\) ; \(f(1)=3\times 1^2-1=2\) donc  \(\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\dfrac{11-2}{1}=9\).
\(f(3)=3\times 3^2-1=27-1=26\) donc \(\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{26-2}{2}=12\)
\(\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1} \neq\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}\)
Donc la fonction \(f\) n'est pas affine.

4. Pour tout réel \(x\), on a : \(f(x)=3x-2-3x=-2\) .
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et a une expression algébrique de la forme \(f(x)=mx+p\) avec \(m=0\) et \(p=-2\).
\(f\) est donc une fonction affine. Comme \(m=0\), c'est une fonction constante. Elle n'est pas linéaire car \(p\neq0\).

5. Pour tout réel \(x\), on a :\(f(x)=\dfrac{10x}{5}=2x\) .
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et a une expression algébrique de la forme \(f(x)=mx+p\) avec \(m=2\) et \(p=0\).
\(f\) est donc une fonction affine. Comme \(p=0\), c'est une fonction linéaire. Elle n'est pas constante car \(m\neq0\).

6. \(D_f= \mathbb{R} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\). Donc \(f\) n'est pas définie sur \(\mathbb{R}\).
Donc la fonction\(f\) n'est pas affine.